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補題――暦とは(その10)――旧暦対照表 全日版の少し長めの註釈その6―想い、描ける、曲線 [2016年05月03日(Tue)]

承前

○近点、遠点

楕円は焦点同士を結ぶ直線を軸「線対称」であり、その軸に直角な、焦点間の中間点を突き抜ける直線を軸にも「線対称」でもある。

前者を長軸といい、後者を短軸という。そしてそれぞれの楕円の周囲までの距離を、それぞれ長径短径(半分を長半径、短半径)という。

しかし、これらは、人間が楕円を描くとしたときの、いわば「カミ」的視点であり、人間の天体観測の場合、逆の視点になる。

例えば、地球から天体、月を観測し、月がどのような楕円軌道を描いているのだろうか、一番近いときは何処か、どの程度近いかといった視点だ。潮の干満の見当もつけるようになる。

つまり、天体観測では、天体の動きや位置を表すのに、楕円の周囲から楕円の焦点までの距離をよく使う。焦点、すなわち基準とする天体から近い方を近点、遠い方を遠点のことをいうので注意が必要だ。長軸上にある、二つの距離の和が長径になる。つまり、短径、短軸は直接関係がない。

そして、この

periapsis 近点、apoapsis 遠点(全般。peri=近いap(o)=遠いapsis=極点

periastron点、apastron点(恒星の周りの楕円軌道)

perihelion点、 aphelion点(太陽の周りの惑星等の楕円軌道)

perigee点、 apogee点(地球の周りの月、人工衛星等の楕円軌道)

のように、基点とする天体によって、言い換える。

○天体の軌道と質量の関係

さて、天体の動きの解題に画期的な革新をもたらした「結論」の式から先ず紹介したい。

(長径の半分)/(楕円軌道の周期)

万有引力定数×(天体hの質量+天体gの質量)/4π

○太陽系の場合

この式を太陽系にあてはめてみよう。

天体hが太陽だとすると、天体gにあたる太陽系の惑星は、質量が1番大きい木星ですら太陽の11000以下で、全体に対する影響は小さすぎ、結果には大差なく、無視できる

ということは、下に書いた右辺は、どの惑星の場合であっても

万有引力定数×(天体hの質量+天体gの質量)/4π

つまりは、

万有引力定数×(太陽の質量)/4π

殆ど変わらない、というよりも、同じ数値になる

(一般的に、太陽系に限らず、多くの恒星系では恒星自体の質量が傘下の惑星を圧倒していると考えられる。無論、一方において、恒星が二つ以上ある連星の場合は全く違う様相になることも分かる。)

つまり、ある決まった数、定数になる。この定数をTとでもおくと

(長径の半分)/(楕円軌道の周期)T

両辺に(楕円軌道の周期)をかけ、

(長径の半分)T×(楕円軌道の周期)

(長径)2T×(楕円軌道の周期)

さらに2をかけると

(長径)16×T×(楕円軌道の周期)

つまり、「楕円軌道の長径≒太陽から惑星の距離」3楕円軌道の周期」2比例する。

太陽から距離が離れれば離れるほど、惑星はゆっくり回る

ケプラーの第三法則、調和法則といわれるものだ。

kepler3.png


(C) NAOJ国立天文台」(注:このグラフは両対数グラフ)

実は、このケプラーの第3法則の「原典」を紹介しようとして、早、数週間たってしまった。「世界の調和」に書かれたといわれているものだ。

インターネット上や孫引きはいうに及ばず、通常は、次の一文が引用されている。

Sed res est certissima exactissimaque quod proportio qua est inter binorum quorumcunque Planetarum tempora periodica, sit præcise sesquialtera proportionis mediarum distantiarum, id est Orbium ipsorum

しかし、全くもって確実に、精確に、2つが組になった如何なる惑星それぞれの周期の期間の間の比は、2つ間の平均距離、それぞれの軌道の間でsesquialtera の比となる。

これは、「Ioannis Keppleri Harmonices mundi libri V ヨハネス・ケプラーの世界の調和についての5巻」の一節だ。

続く

この項は、筆者が作成した、

旧暦・西暦・グレゴリオ暦・ユリウス暦・干支・六曜・七曜、対照表 全日版嘉永7年の元旦から明治6年の正月の晦日

の解説の一部です

この補題の最初は

補題――暦とは(その1)――旧正

です。

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